Командир пулемётного расчёта 566-го стрелкового полка (153-я стрелковая дивизия, 49-я армия, 2-й Белорусский фронт), старший сержант.
Родился 15 марта 1924 года в селе Суходольское Долинского района Кировоградской области в семье крестьянина. Украинец. Жил в городе Кривой Рог Днепропетровской области.
В 1942 году призван в Красную Армию Нижнетагильским районным военкоматом Свердловской области. Участник Великой Отечественной войны с октября 1942 года. Воевал на Юго-Западном фронте. За отличия в боях в октябре 1942 года награждён медалью «За отвагу», а в декабре – орденом Красной Звезды. Получив в декабре 1942 года два ранения, долгое время находился на лечении и вернулся на фронт в июне 1944 года в составе 566-го стрелкового полка 153-й стрелковой дивизии 49-й армии 2-го Белорусского фронта. Особо отличился в боях за освобождение Белоруссии.
26 июня 1944 года командир пулемётного расчёта старший сержант Алексеенко из подручных материалов соорудил плотик, вместе с бойцами 27 июня преодолел Днепр севернее Могилёва и закрепился на противоположном берегу, обеспечивая огнём переправу подразделений. Противник, стремясь сбросить наши войска с плацдарма, в течение дня предпринял на этом участке четыре контратаки силами до двух батальонов. Алексеенко, оставшись один у пулемёта, около суток продолжал бой и удерживал позицию, уничтожив при этом около 190 гитлеровцев.
28 июня отразил ещё две контратаки, уничтожил 45 фашистов и подбил автомашину.
2 июля 1944 года, ведя с плота губительный огонь, в числе первых переправился через Березину. 3 июля во время наступления на правом берегу реки шёл в боевых порядках пехоты и поддерживал её пулемётным огнём. В этом бою он уничтожил до ста немецких солдат и офицеров. Когда был повреждён его пулемёт, Алексеенко с автоматом и гранатами первым достиг вражеской траншеи в районе деревни Жарковка и вывел из строя станковый пулемёт и 35 гитлеровцев.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 24 марта 1945 года за мужество, отвагу и героизм, проявленные в борьбе с немецко-фашистскими захватчиками, старшему сержанту Алексеенко Александру Миновичу присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда» (№ 7247).